Футбол и занимательная математика. Простые формулы
Сегодня предлагаю рассмотреть связь занимательной математики и футбола, и обратить внимание на несколько простых, но интересных формул.
Турнир всех европейских сборных
Представим, что организован турнир, на котором все 55 европейских сборных должны по одному разу сыграть друг с другом, каждая с каждой. Сколько будет матчей?
Для ответа на этот вопрос проще всего использовать известную из теории вероятностей формулу числа сочетаний.
Формула для определения числа матчей будет выглядеть так: N = m!/2*(m-2)!
Где N – число матчей (сочетаний), m – число команд в турнире. Даже без использования калькулятора формула позволит получить правильный ответ за считанные секунды, достаточно уметь умножать и делить числа, а также понимать что такое факториал.
Есть еще несколько способов. Самый трудоемкий, но в тоже самое время очевидный – расставить 55 точек, соединить их друг с другом и посчитать число связей. Такой подход требует огромного внимания и терпения, и решение займет несопоставимо больше времени. Едва ли кому-то удастся не сбиться со счета, но если это все-таки произойдет, ответ будет точно таким же, как число сочетаний.
Эту задачу можно решить, даже не зная комбинаторику и не расставляя точки. Из общих соображений нетрудно вывести формулу, согласно которой количество матчей N будет равно сумме целых чисел от 1 до (m-1), где m – число принимающих участие в турнире команд. Формула будет выглядеть так: N = m*(m-1)/2
Разбор этой задачи можно посмотреть здесь. Пусть условие изначально относилось к немного другой ситуации, выведенная в ней формула будет точно такой же.
Скорее всего, есть и другие способы решения. Все они при правильном подсчете приведут к одному и тому же ответу. Число игр в таком турнире будет внушительным – 1485. Для сравнения:
В финальной стадии последних семи чемпионатов мира было сыграно по 64 матча. С 2026 года, после расширения турнира с 32 до 48 команд, матчей в финальной стадии будет 104;
В первой Лиге чемпионов, разыгранной по «швейцарской системе», матчей с учетом квалификации было 279;
В рамках чемпионатов Англии, Италии или Испании за один сезон играется 380 матчей;
В отборочных раундах чемпионата мира 2022 года было сыграно 865 матчей – примерно в 1,7 раз меньше, чем в гипотетическом «панъевропейском» турнире.
Но даже без малого полторы тысячи игр – далеко не рекорд. К настоящему моменту в ФИФА состоят 211 национальных сборных. Если бы все они по разу сыграли друг с другом, турнир растянулся бы на 22155 матчей.
Невозможное число очков
Как известно, за победу на групповом этапе еврокубка команда получает три очка, за ничью – одно, за поражение – ноль. Такое начисление приводит к интересному результату: в любом количестве игр есть определенное число баллов, которое в принципе невозможно набрать!
В одном матче нельзя набрать два очка, в трех – восемь, в шести – семнадцать, в восьми – двадцать три.
Формула невозможного числа очков N в зависимости от числа игр m будет предельно простой: N = 3*m-1
Для наглядности – две столбчатые диаграммы числа способов, которыми можно набрать разное число очков в шести и восьми матчах.
Как видно, для определенного количества баллов может быть больше способов набора, чем для другого. Шесть очков можно набрать тремя способами, в то время как три, четыре или пять -двумя. Но для большинства вариантов способ существует лишь один.
При увеличении числа матчей до восьми (столько игр проводят клубы в общем этапе Лиги Чемпионов или Лиги Европы) происходит смещение невозможного числа очков с 17 до 23.
Как известно, в первые сезоны розыгрыша Кубка/Лиги чемпионов с групповым этапом за победу начислялось два очка, за ничью – одно. При такой системе невозможного числа очков не могло быть в принципе, и в шести матчах команда могла набрать любое количество баллов в диапазоне от 0 до 12.
Но начиная с 1995 года за победу на групповом этапе стало начисляться три очка. При таком начислении победа и поражение приносят больше зачетных баллов, чем две ничьих. Так что у команд стало больше мотивации.
Как число матчей в чемпионате связано с количеством команд
Как выглядит формула, связывающая число матчей в чемпионате с количеством команд? При условии, что турнир не разделен на несколько этапов, когда после регулярного чемпионата одна группа ведет борьбу за попадание в еврокубки, а другая – за право остаться в элите.
Предположим, в лиге принимает участие m клубов. Так как каждый клуб должен дважды сыграть со всеми соперниками, в чемпионате будет проведено 2*(m-1) туров. В каждом туре будет сыграно m/2 матчей. Перемножив число туров на число сыгранных в каждом из них матчей, получим такую формулу: N = m*(m-1).
В Серии А, АПЛ или Ла Лиге принимают участие по 20 команд. В таком случае за сезон будет сыграно, как уже упоминалось выше: N = 20*(20-1) = 380 матчей. И растянется он на 38 туров.
В чемпионатах Турции, Франции или Германии принимают участие 18 клубов. Значит, в этих лигах за один сезон в 34 турах будет сыграно 306 матчей.
А в чемпионате Беларуси играют только 16 клубов. В 30 турах будет проведено 240 матчей.
Как видно, расширение лиги даже на две команды заметно увеличивает число матчей. Но, что даже важнее, растет число туров, то есть длительность соревнования. Для стран с более холодным климатом найти лишний месяц для футбольного первенства может стать серьезной проблемой.
Несколько ссылок на более ранние статьи, посвященные футбольной статистике
Закон Бенфорда - луж больше, чем озер; озер – чем морей, а морей – чем океанов. Но в футбольной статистике этот критерий в силу ряда причин применим далеко не всегда.
Суперкубок УЕФА. Статистика и факты, цифры и диаграммы- как часто Суперкубок УЕФА выигрывали победители Лиги Чемпионов, Лиги Европы, Кубка УЕФА и Кубка Кубков? Как часто победитель определялся в основное/дополнительное время, а также в серии пенальти?
Статистика еврокубковой весны. Цифры и факты, страны и клубы- представители скольких стран как правило выходят в еврокубковую весну в различных турнирах УЕФА?
***
Телеграм-канал «Еврокубки. Интересные факты»
Канал посвящен наблюдениям за еврокубками, комментариям по поводу наиболее заметных текущих событий в турнирах УЕФА, а также истории и статистике.
***
Если Вам понравилась статья, можете поддержать мой блог донатом в комментариях.
Фото: d31xsmoz1lk3y3.cloudfront.net, boost-tool.com, ais.badische-zeitung.de
Тогда нужно знать формулы арифметической прогрессии.
55•(0+54)/2 = 1485
Было бы круто еще и увидеть формулы, оформленные в LaTeX