Стохастическое моделирование эпидемии COVID-19: год карантина либо миллионы жертв

Попытаемся оценить возможный ход эпидемии COVID-19 методом стохастического моделирования. Рассмотрим варианты развития событий без карантина, а также с несколькими вариантами карантинных мероприятий.

Когда же будут сняты запреты на массовые мероприятия, когда для зрителей откроются большие стадионы?

Представим человеческое сообщество в виде двумерного квадратного массива NxN.

В единицу времени каждый элемент массива контактирует с другим элементом, выбор координат второго контактирующего проходит с помощью генератора случайных чисел.

Генерация производится по нормальному закону распределения с матожиданием в координатах первого контактирующего и СКО=N/12 для центра массива, с линейно убывающим СКО до N/24 к крайним точкам массива.

Нормальным распределением имитируются более частые контакты с более близкими членами популяции.

Изменение СКО круга контактов имитирует наличие населенных пункты различного размера.

Члены популяции могут иметь пять возможных статусов:

• восприимчивый к вирусу;

• инфицированный на инкубационном периоде;

• больной;

• выздоровевший;

• погибший.

Возможные изменения статусов:

• восприимчивый – инфицированный на инкубационном периоде;

• инфицированный на инкубационном периоде – больной;

• больной – здоровый, либо больной – погибший.

На первом шаге моделирования в центре популяции помещается больной член. При контакте заразного и здорового членов популяции, здоровый член популяции с заданной вероятностью Pз переходит в статус инфицированный на инкубационном периоде, имитация заражения происходит с помощью генератора случайных чисел равномерного распределения.

Заразным считается больной член популяции, либо инфицированный на завершении инкубационного периода.

В каждом случае заражения инкубационный период определяется генератором случайных чисел усеченного нормального распределения,

где: Мо-матожидание, СКО=Мо/3, диапазон генератора [1; Mo+10·СКО].

По истечении срока инкубации, генератором случайных чисел, с характеристиками аналогичными генератору срока инкубации, определяется длительность болезни.

По истечении срока болезни, равномерным генератором случайных чисел с заданной вероятностью Рл имитируется выздоровление, либо гибель.

В случае превышения числа больных, нуждающихся в интенсивной терапии, ресурсов системы здравоохранения, случайным образом имитируется гибель больных, необеспеченных ресурсами.

Параметры моделирования COVID-19 на основе открытых источников:

Средний инкубационный период – 5 дней;

За 2 суток до проявления симптомов инфицированный становится заразен;

Cредний срок болезни - 8 суток;

https://www.thelancet.com/journals/laninf/article/PIIS1473-3099(20)30232-2/fulltext

Летальность Рл=0.5%.

Данное значение принимается на основе следующих данных:

На круизном лайнере Diamond Princess вирусом COVID-19 было заражено 712 человек, 7 человек погибло, летальность составила 0.98%. Diamond Princess единственный случай полного эпидемиологического обследования. Средний возраст пассажиров корабля составлял более 60 лет, для более молодой популяции летальность должна быть ниже.

Как правило, тестирование проводится людям с явными симптомами, поэтому можно предположить, что множество легких и бессимптомных случаев заболевания в статистику не попадает.

Наибольшее число тестов на долю населения проведено в Исландии. На 30 марта в стране зафиксировано 1023 случая заражения COVID-19 и 2 летальных исхода, на 22 марта отмечалось 473 случаев заражения, таким образом летальность 2/473 составляет 0.42%.

По данным израильских медиков доля нуждающихся в интенсивной терапии с ИВЛ составляет от 2 до 5%.

С учетом предположения о большом числе незарегистрированных легких случаев, примем для расчетов долю нуждающихся в ИВЛ 1.5% от числа болеющих.

Ресурсы системы здравоохранения, на примере США.

72 тысячи аппаратов ИВЛ, экстренное производство 8 тысяч новых аппаратов. 80000/329000000 доля обеспеченности ИВЛ всей популяции 0.024%.

Единичные «прогоны» модели для популяции 300х300

Результаты моделирования при вероятности заражения Рз=100%

Срок эпидемии от первого зараженного до полного отсутствия болеющих членов популяции и членов на инкубационном периоде –  58 дней.

Пик эпидемии (максимум одновременно болеющих) – 31-й день.

Максимум одновременно болеющих – 50.9% популяции.

Смертность – 10.35% популяции, включая 9.95% из-за нехватки ресурсов интенсивной терапии.

Коллективный иммунитет – 100% популяции (89.65% исходной популяции), затронуто 100% восприимчивых.

В случае близком к идеальному, наблюдаемая по результатам массовых тестирований картина это кумулята числа больных (число зарегистрированных случаев ), в каждый момент времени это число меньше реального общего числа инфицирований на число зараженных на инкубационном периоде.

Стопроцентная заражаемость при контакте предельный случай невозможный в реальной жизни.

Какой может быть реальная вероятность заражаемость?

Рассмотрим два бытовых случая.

В Китае больной коронавирусом заразил 8 человек из 48 находившихся вместе с ним в междугороднем автобусе и одного человека, вошедшего через 30 минут после выхода больного. Вероятность заражения можно оценить 9/49=18.3%.

В Австралии 31 человек из 140 гостей свадьбы заразились COVID-19. Вероятность заражения можно оценить 31/140=22.1%.

Таким образом, примем параметр вероятности заражения Рз=20%.

Результаты моделирования при вероятности заражения Рз=20%

Срок эпидемии от первого зараженного до полного отсутствия болеющих членов популяции и членов на инкубационном периоде –  153 день.

Пик эпидемии (максимум одновременно болеющих) – 74-й день.

Максимум одновременно болеющих – 21.1% популяции.

Смертность – 8.85% популяции, включая 8.49% из-за нехватки ресурсов интенсивной терапии.

Коллективный иммунитет – 94.4% популяции (86.0% исходной популяции), затронуто 94.9% восприимчивых.

Похожие результаты были получены исследователями из Imperial College London. Путем более сложного моделирования пик эпидемии также ожидается примерно через 2.5 месяца после появления первых зараженных (черная кривая). 

Визуализация хода эпидемии 

Цвет ячеек: белый - восприимчивый, желтый - инфицированный на инкубационном периоде, синий - больной, зеленый - выздоровевший,  коричневый – погибший:

Репродуктивное число заболеваемости R0

Среднее R0 для Уханя составило 2.2.

В случае Diamond Princess, на котором было заражено около 20%, находившихся на борту, R0 составило 2.8.

При моделировании с Рз=100% репродуктивное число осредняемое за период от начала эпидемии варьируется от 5 до 2.8. Причем значение 2.8 результат по окончанию эпидемии, затронувшей 100% популяции, на момент заражения 20% популяции R0=3.7.

При моделировании с Рз=20% репродуктивное число осредняемое за период от начала эпидемии варьируется от 3 до 1.8. Значение 1.8 определено по окончании эпидемии, затронувшей 100% популяции, на момент заражения 20% популяции R0=2.3.

Таким образом, величина Рз=20% может рассматриваться как репрезентативная.

Результаты моделирования карантинных мер, снижающих вероятности заражения с Рз=20% до 2%

Моделирование начинается с Рз=20%, при достижении эпидемиологического порога 1% больных от состава популяции моделирование продолжается с Рз=2% до полного окончания эпидемии.

Необходимость карантинных мер возникла с 40 дня эпидемии.

Срок эпидемии от первого зараженного до полного отсутствия болеющих членов популяции и членов на инкубационном периоде –  127 дней.

Выздоровление последнего больного после 87 дней непрерывного карантина с Рз=2%.

Пик эпидемии (максимум одновременно болеющих) – 45-й день.

Максимум одновременно болеющих – 2.1% популяции.

Смертность – 0.048% популяции, включая 0.027% из-за нехватки ресурсов интенсивной терапии.

Коллективный иммунитет – 4.33% популяции, затронуто 4.38% восприимчивых, большая вероятность повторной эпидемии.

Результаты моделирования карантинных мер, снижающих вероятности заражения с Рз=20% до 2% сроком на 21 день

Моделирование начинается с Рз=20%, при достижении эпидемиологического порога 1% больных от состава популяции моделирование продолжается с Рз=2% сроком на 21 день, в дальнейшем моделирование легких карантинных мер с Рз=10%.

Необходимость карантинных мер возникла с 39 дня эпидемии.

Срок эпидемии от первого зараженного до полного отсутствия болеющих членов популяции и членов на инкубационном периоде –  749 дней.

На 111 день эпидемии или 51 день после окончания строго карантина с Рз=2% повторное превышение эпидемиологического порога 1% популяции.

Пик эпидемии (максимум одновременно болеющих) – 164-й день.

Максимум одновременно болеющих – 5.8% популяции.

Смертность – 3.52% популяции, включая 3.25% из-за нехватки ресурсов интенсивной терапии.

Коллективный иммунитет – 62.1% популяции (59.9% исходной популяции), затронуто 63.5% восприимчивых.

Моделирование многократных карантинных мер, снижающих вероятности заражения с Рз=20% до 2% сроком на 21 день

Моделирование начинается с Рз=20%, при достижении эпидемиологического порога 1% больных от состава популяции моделирование продолжается с Рз=2% сроком на 21 день, в дальнейшем моделирование легких карантинных мер с Рз=10%, при повторных достижениях эпидемиологического порога 1% моделирование продолжается с Рз=2% сроком на 21 день.

Срок моделирования был ограничен 1000 дней, к окончанию срока эпидемия не была закончена, присутствовало 10 члена популяции на инкубационном периоде и 24 больных.

Необходимость первых карантинных мер возникла с 44 дня эпидемии.

На 114 день эпидемии или 49 день после окончания строго карантина с Рз=2% повторное превышение эпидемиологического порога 1%.

Необходимость 3-6 строгих карантинов с Рз=2% с 197, 286, 370 и 519 дней эпидемии соответственно.

7-й всплеск заболеваемости эпидемиологического порога 1% не превысил.

Пик эпидемии (максимум одновременно болеющих) – 49-й день.

Максимум одновременно болеющих – 1.8% популяции.

Смертность на 1000-й день моделирования – 0.24% популяции, включая 0.01% из-за нехватки ресурсов интенсивной терапии.

Коллективный иммунитет на 1000-й день моделирования – 47.7%, затронуто 48% восприимчивых.

Итоги:

В настоящее время мы наблюдаем, что подавляющее большинстве стран идут по пути карантина. В скором будущем будет понятно какие варианты карантинных мер выберут лица принимающие государственные решения, по каким путям пойдут, сохранения жизней или минимизации экономических издержек.

Увы, открытия для зрителей больших стадионов стоит ожидать лишь в 2021 году.