5 мин.

Доказательство Теоремы Юинга

261

 Теорема Юинга. Математическое обоснование.

Текст Zugvogels

В 2001-м году обозреватель ESPN Билл Симмонс ввел в оборот понятие «Теорема Юинга», чтобы описать те странные ситуации, которые иногда возникают в спорте, когда команда начинает играть лучше после потери своего лучшего игрока. В качестве примера Симмонс приводил игру «Нью-Йорка» после травмы лучшего игрока команды Патрика Юинга в финале конференции против «Индианы». Потеряв своего лучшего игрока, «Никс» затем выиграли три из следующих четырех матчей и вышли в финал.

В 2010-м году на конференции по спортивной аналитике MIT Sloan сотрудник Университета Миннесоты Брайан Скиннер представил доклад, в котором он попробовал с помощью статистических и математических методов доказать теорему Юинга. Краткий конспект его доклада (без утомительных формул) предлагается Вашему вниманию.

Для упрощения в рамках данного исследования сравним игру в баскетбол с дорожной сетью, с сетью автодорог. Задача автолюбителя, когда он выезжает на дорогу, наиболее эффективным способом переместить автомобиль из пункта А в пункт В. Задача баскетбольной команды, которая вводит мяч в игру, наиболее эффективным способом переместить мяч из пункта А (вынос из-за лицевой) в пункт В (кольцо). В случае с автомобилем эффективность определяется по времени, в случае с баскетболом – процентом попадания. Соответственно автолюбитель должен выбирать наиболее быструю из 5 возможных дорог, а баскетбольная команда для завершения атаки должна выбирать баскетболиста с наибольшим процентом попадания из 5 возможных игроков своей команды.

Легко предположить, что с математической точки зрения ВСЕ атаки должны идти через игрока с наилучшим процентом попадания. Однако в таком случае эффективность этого игрока снижается, потому что соперники начинают защищаться только против него и процент его попадания снижается.

Скиннер исследовал в качестве примера «эффективный процент попадания» Рэя Аллена в зависимости от доли бросков, которые он совершал по сравнению с остальной командой. 3 пустых кружочка относятся к его первым трем годам в Лиге и не учитываются при расчетах.

Получается, что чем больше доля бросков Аллена от общекомандных, тем хуже процент попадания.

Представим, что Рэй Аллен играет в команде, где у него наилучший эффективный процент попадания (такое легко представить – прим. переводчика). При этом его процент попадания снижается при увеличении частоты использования. И представим, что остальные его четыре партнера атакуют с процентом попадания 50%, и этот процент постоянен и не зависит от частоты использования (например при замене одного посредственного уставшего игрока на другого посредственного, но свежего игрока).

 

Ставка на лучшего игрока команды подразумевает, что надо загружать мячом Рэя Аллена до тех пор, пока его процент попадания не станет ниже процента попадания его напарников. В данном примере, если Рэй будет брать на себя 40% от общекомандных бросков, то его процент попадания будет 50%, то есть таким же, как и у его менее талантливых коллег. Если Рэй будет брать на себя еще больше бросков, то общий процент команды упадет меньше 50%.

Но что самое интересное – команда атаковала бы с процентом 50, даже если бы Рэй вообще не выходил на площадку!

Получается, что наиболее оптимальный способ использования Рэя Аллена – это доверять ему от 0% до 40% бросков команды.

В данном конкретном примере оптимальный общекомандный процент попадания достигается, когда Рэй бросает ровно 20% от бросков команды, то примерно столько же, сколько и его менее одаренные коллеги.

В этом случае Аллен атаковал бы с процентом 62,5, а остальная команда – с процентом 50. Эффективный процент попадания команды вырос бы на 2,5% (а это существенное отличие в НБА, где разница в общекомандных процентах попадания в сезоне 08-09 составила 1,6%).

Чтобы этого достичь, надо лишь не отдавать мяч своему лучшему игроку в 80% случаев.

Теперь рассмотрим теорему Юинга на основании Парадокса Браесса, который объясняет ситуации, в которых закрытие оживленных магистралей приводит к улучшению транспортной ситуации в городе.

Представим простейшую баскетбольную комбинацию.

Разыгрывающий (1) или атакующий защитник (2) проходит под кольцо и далее либо атакует кольцо, либо сбрасывает мяч центровому (5), у которого тоже два варианта – атаковать, либо сбросить мяч другому защитнику (1-2), который не проходил под кольцо, чтобы тот бросил открытый джамп-шут.

Х – это частота использования именно этого способа атаковать кольцо.

Предположим, что 1 намного лучше в проходах под кольцо, чем 2. 2 всегда проходит под кольцо с процентом попадания 50%, а 1 в худшем случае проходит под кольцо с вероятностью 50%.

И наоборот, 1 всегда бросает с дистанции с процентом 50%, в то время как 2 и 5 в худшем случае бросают с дистанции с процентом 50%.

Получается, что игроку 1 нет смысла бросать с дистанции, а игроку нет смысла проходить под кольцо. Наилучшая стратегия всегда будет заключаться в том, что 1 проходит под кольцо, а затем он либо атакует, либо сбрасывает мяч 5, а тот либо атакует сам, либо пасует на 2. Допустим 5 атакует в 1/3 случаев, а 2 атакует в 2/3 случаев. Оба игрока забивают с вероятностью 2/3. Тогда эффективный процент попадания составит 0,5 * (2/3) = 0,33.

Что изменится, если исключить из игры игрока 5? Допустим он получил травму, а запасной игрок не разобрался еще до конца в схемах нападения. Тогда схема нападения будет очень простой.

Игроки 1 и 2 разделят все броски между собой, и эффективный процент попадания команды составит 0,5*(1-0,5*0,5)=0,375. На удивление больше, чем 33% в предыдущем случае.

Игрок 5 был ключевым игроком в команде. Он касался мяча в каждом владении, и атаковал в 1/3 процентов случаев с вероятностью 2/3! Но без него команда атакует с лучшим процентом!

Задача заключается в том, чтобы найти оптимальный вариант игры для команды, а не для каждого конкретного игрока. Оптимальная стратегия в рассмотренном примере – это если мы забудем, что 1 лучше в проходах под кольцо, чем 2, и будем давать им возможность проходить под кольцо в 50% случаев, а броски между 5 и 2 также распределим в пропорции 50/50. Тогда эффективный процент попадания команды составит 43%.

Следующий претендент на подтверждение теоремы Юинга – дамы и господа, Ваши «Денвер Наггетс»! После ухода Кармело Энтони – 7-2 (78% побед), до трейда – 32-25 (56% побед).