Странности жеребьевки лиги чемпионов
Состоявшаяся жеребьевка 1/8 лиги чемпионов вызвала поток шуток о паре Арсенал-Бавария и навела меня на мысль посмотреть какие результаты выдавала слепая (не ставлю кавычек) жеребьевка плей-офф лиги чемпионов за последние годы.
Я не строю конспирологических теорий. Чистая математика. Вернее, теория вероятности, с которой в ее базовом виде большинство из читателей текста знакома. Однако, учитывая, что здесь будет много цифр, возьму на себя смелость напомнить теорию на самом простом уровне.
Предположим вы подбрасываете монетку. Вероятность того, что она упадет орлом 1 к 2. 50%. И того, что она упадет решкой 1 к 2. 50%. Если же вы подкидываете монету 2 раза и пытаетесь угадать 2 последовательных события (скажем, орел-орел или орел-решка), ваши шансы на успех будут 1 к 2*2 или 1 к 4. 25%. Если взять 3 броска, то вероятность уменьшится до 1 к 2*2*2 (1 к 8. Около 12,5%) и с прибавлением каждого следующего события вероятность угадать последовательность орлов и решек будет падать пропорционально степени 2.
Это хорошо описано в первой сцене пьесы Тома Стоппарда «Розенкранц и Гильденстерн мертвы». Наверняка вы читали. Или смотрели кино с Тимом Ротом и Гэрри Олдманом.
Примеры, которые я буду описывать чуть сложнее, но зиждятся на той же основе. Вероятность двух событий равна произведению вероятностей каждого из них.
Собственно, можно переходить к практике.
Я взял результаты жеребьевок 1/8 и ¼ финала лиги чемпионов за последние 10 лет. Нет никакой нужды приводить здесь полную обширную статистику, ограничусь только некоторыми бросающимися в глаза странностями и начну с самого просто переводимого на язык математики и самого вероятного из них.
И да. Любое утверждение вы легко можете проверить. Все пары 1/8 и ¼ за любой сезон ищутся в несколько кликов, и вы это умеете лучше меня.
Атлетико в четвертьфиналах
Взлет Атлетико начался в сезоне 2013/14 года. После пятилетнего перерыва команда попала в плей-офф лиги чемпионов и обыграв Милан оказалась в ¼. Отсюда и начинается наша история.
В сезоне 2013/14 Атлетико попадает на Барселону. В сезоне 2014/15 опять в четвертьфинале Атлетико достается Реал. В сезоне 2015/16 снова Барселона и снова в четвертьфинале.
3 сезона подряд, на первой же стадии, где команды перестают разводиться по признаку страны, Атлетико достается испанский клуб.
Я не буду говорить, что 3 испанские команды в трех разных парах четвертьфиналов это потенциально 3 испанские команды в полуфинале, что может негативно сказаться на интересе зрителей. И не буду строить предположения почему именно Атлетико, а не два других гранда сталкиваются с друг с другом. Просто математика.
А математика говорит следующее.
В четвертьфинале сезона 2013/14 было 8 команд, 3 из которых испанские. Следовательно, у Атлетико было 2 шанса из 7 попасть на испанскую команду при слепой жеребьевке. Вероятность 28,57%. Больше чем 1 к 4. Большая вероятность и она сыграла. Бывает.
В четвертьфинале сезона 2014/15 картина в точности повторилась. 3 команды испанские. Шансы Атлетико попасть на испанскую команду 2 из 7. Но. Второй раз подряд. Следовательно, вероятность этого события уже 28,57% во второй степени. 8,16%.
В сезоне 2015/16 снова три команды из Испании и вероятность становится уже 28,57% в третьей степени. 2,33%.
Однако эти 2 с небольшим шанса из 100 для Атлетико сыграли.
Вероятность по сравнению с другими интересными результатами жеребьевок, кстати, очень большая. Перейдем к более удивительным событиям.
ПСЖ и Барселона, Челси
ПСЖ еще одна команда, начавшая регулярно попадать в плей-офф не так давно. Первый раз после перерыва ПСЖ оказались в 1/8 в сезоне 2012/13 и включая текущий сезон сделали это уже 5 раз подряд.
И надо сказать, что все эти годы французам не так, чтобы сильно везет со жребием. Судите сами.
Сезон 2012/13. Обойдя в 1/8 финала Валенсию ПСЖ попадает на Барселону.
Сезон 2013/14. В ¼ ПСЖ ждет Челси.
В следующем сезоне соперники стреляют дуплетом. Обойдя в первом раунде плей-офф Челси, ПСЖ попадает на Барселону.
Сезон 2015/16 в 1/8 Челси.
И в текущем сезоне жеребьевка в 1/8 ПСЖ снова попадается Барселона.
Не надо думать, что состав 1/8 и ¼ достаточно стабилен поэтому высока вероятность таких повторений. За 10 лет в 1/8 лиги поиграло 48 команд, в четвертьфинале 34. Давайте просто посчитаем. Поправьте если я рассуждаю неправильно.
Нас интересует вероятность попадания ПСЖ на Челси и Барселону за 5 сезонов 6 раз в двух стадиях плей-офф.
Сезон 2012/13. Первый раунд отметаем, так как там не было возможности встретиться с Челси и Барсой. Барса, как и ПСЖ заняла первое место в группе, Челси не было на данной стадии. Вероятность попасть на Барселону в ¼ была 1 из 7. 14,28%
Сезон 2013/14. Первый раунд снова отметаем. Все 3 клуба заняли первые места, а значит по правилам не могли играть друг с другом. В ¼ шансы попасть на Барсу или Челси были 2 из 7. 28,57%, что в купе с 14,28% из прошлого сезона дает 4,08%
Сезон 2014/15. В 1/8 второму ПСЖ мог попасть только Челси, так как с Барсой ПСЖ оказался в одной группе. Шансы 1 из 7, так как первое место в группе С занял другой французский клуб Монако. 14,28%. То есть, в совокупности с предыдущими сезонами 4,08%*14,28%=0,58%. Добавляем 1 шанс из 7 в ¼ попасть на Барселону получаем 0,58%*14,28%=0,08%. Меньше одного шанса из 1000 и это еще не все.
Сезон 2015/16. В 1/8 снова могут попасть оба интересующих нас соперника. 2 шанса из 7. Нельзя встречаться с Реалом из своей группы. 0,08% превращается 0,02%
И в этом сезоне Челси не было, значит шанс попасть на один из двух друзей ПСЖ был 1 из 6. ПСЖ не мог попасть на Монако и на команду из своей группы Арсенал. 16,67%. За весь период вероятность такой частоты встреч получается 0,02%*16,67%=0,003%.
3 тысячных процента. 3 шанса из 100 000. Это примерно, как 15 раз подряд выбросить орла. Попробуйте.
Ну, а теперь любимое.
Арсенал-Бавария
Арсенал, кстати, один из 3 клубов, не пропустивших ни одного плей-офф лиги за 10 лет. Два других Барселона и Реал. Но сейчас не об этом.
На самом деле у Арсенала два любимых соперника. Бавария и Барселона. Посмотрим где сталкивался с ними Арсенал за последние годы.
Сезон 2009/10. Обыграв в 1/8 Порту Арсенал попадает на Барселону в ¼.
В сезоне 2010/11 Барселона попадает Арсеналу уже в первом раунде.
В следующем году встреч с Баварией и Барселоной нет.
Зато в 2012/13 и 2013/14 два раза подряд Арсенал в 1/8 попадает на Баварию.
Сезон 2014/15 снова перерыв.
В сезоне 2015/16 Бавария попадается Арсеналу в группе, а в 1/8 Барселона.
И сейчас в 2016/17 в 1/8 снова Бавария.
Приложим к этой картине линейку. Постараюсь быть максимально объективным.
Сезон 2009/10. В 1/8 Арсенал, занявший 1-ое место в группе мог попасть на Баварию, но не попал. Сыграла вероятность 6 из 7. 85,71%. С этого и начнем.
В четвертьфинале Арсеналу попадается Барселона. 1 шанс из 7. Суммарный процент падает до 12,24%.
Сезон 2010/11. Арсенал 2-ой в группе. Барса и Бавария 1-ые. Арсенал не может встретиться с Шахтером (своя группа), Тоттенхэмом, Челси и МЮ. Остаются 2 шанса из 4. И они играют. Ни Реал, ни Шальке-04. 50%. Суммарная вероятность таких совпадений 6,12%.
Следующий год ничего не меняет в наших вероятностях. В группе все три команды первые и в 1/8 не могут встретиться между собой, а в ¼ Арсенал не попадает, проиграв Милану.
А вот вероятность попасть два раза на Баварию в 1/8 в следующих сезонах, даже с учетом, что Барселона нас тоже бы удивила, была не высока.
В сезоне 2012/13 у Арсенала было 6 вероятных соперников в 1/8 (На Барсу и Баварию 2 шанса из 6) в 2013/14 два английских клуба на первых местах сократили количество возможных соперников до 5. 2 из 6 плюс 2 из 5 дают 13,2%. Или суммарно 0,81%
Сезон 2014/15 несколько меняет картину. Арсенал мог в 1/8 попасть и на Баварию и на Барселону, но не попал. Жребий выбрал другого из 6 возможных соперников, а именно Монако. 0,81% поделим на не сыгравшие 33,3% и получим 2,43%
В сезоне 2015/16 в 1/8 Арсеналу снова попадает Барселона. 1 из 5 возможных вариантов. 20% сокращают суммарную вероятность до 0,5%.
И, наконец, в этом году снова Бавария. Хотя могли попасть Бенфика Байер 04, Реал, Порту, Севилья. Сыграл 1 шанс из 6 = 16,67%. И вероятность таких печальных для Арсенала совпадений 0,08%. Восемь шансов из 10 000.
Еще раз. Есть ли подтасовка во время жеребьевки, не знаю. Зачем составляются (если составляются) именно такие пары, могу только предполагать. Вероятно, частое повторение играет на зрительском интересе, как продолжение недавнего противостояния. Своего рода сериал.
Могут быть такие совпадения? Теоретически, да. Практически… Перед вами расчеты.
Во втором случае вероятность всегда 50%. Вне зависимости от предыдущих результатов. Также и с Атлетико.
Чтобы говорить здесь о подтасовке, надо показывать модель с предсказательной силой.
Насколько я знаю это не правильно. Решка может выпасть 10 раз подряд, но шансы на то, что следующим выпадет орел все так же 50 процентов. Выборка слишком маленькая чтобы делает такие выводы