2 мин.

Разбор задачки с вероятностями

103

Чем же задачка из прошлого поста была непроста? Напомню её формулировку.

Если случайным (равновероятным) образом выбирать ответ на этот вопрос из четырех приведенных вариантов, то какова вероятность выбрать правильный ответ?

a) 25%; b) 50%; c) 60%; d) 25%.

Во-первых, нет никакого подвоха или обмана в том, что ответы в двух вариантах совпадают. Это можно представлять себе так: в шляпе лежат четыре бумажки, на каждой что-то написано. Если на двух бумажках написано одно и то же — что ж в этом дурного или обманного? Ничего. Понятно, что каждую бумажку ты вытянешь с вероятностью ¼ (или 25% — это одно и то же). А вот с какой вероятностью тебе попадется то или иное значение — другой вопрос: это уж зависит от того, сколько всего бумажек (в нашем случае — 4) и на скольких бумажках написано это самое значение. В нашем случае: 50% написано на одной из 4 бумажек, поэтому 50% вытягивается с вероятностью 25%; 60% тоже вытягивается с вероятностью 25%. А вот значение 25% вытягивается с вероятностью 50%, потому что оно написано на каждой второй бумажке.

Вся соль этой задачки — в самой постановке вопроса. С какой вероятностью, спрашивают нас, нам вытянется правильный ответ? Правильный ответ на какой вопрос? На вопрос о том, с какой вероятностью нам вытянется правильный ответ. А правильный ответ на какой вопрос? Да на вопрос же о том, с какой вероятностью нам вытянется правильный ответ. А правильный ответ на какой же вопрос…

И так бесконечно.

Этот вопрос как бы завёрнут сам в себя. Бывают конфеты, завёрнутые в фантик; бывают фантики, внутри которых ещё один фантик, а совсем внутри —пусто («Дядя Петя, ты дурак?» — спросил умный мальчик из кино, которому задали такую задачку). Но здесь не то: здесь конфета совпадает со своим фантиком. В этом-то и интерес.

Утверждения, которые ссылаются сами на себя, могут увести в дебри — логики и математики это знают (почитать можно, например, здесь). Но наша задачка в дебри не уводит. Её можно переформулировать так, что вложенности вопроса в себя не будет. И тогда ответить будет просто.

Какова вероятность выбрать правильный ответ, если выбирать его случайно? — спрашивают нас. Но правильный ответ — это ведь и есть вероятность выбрать правильный ответ. Значит, вопрос можно перепоставить так:

Какова вероятность того, что число, которое нам попадётся, будет совпадать с вероятностью вытащить это число?

Теперь вопрос лишился своей таинственности. Чтобы ответить на него, надо просто глянуть на вероятности вытаскивания всех имеющихся в шляпе ответов — выше мы их сосчитали. Ни одно из чисел, написанных на бумажках, не совпадает со своей вероятностью. Иными словами, вероятность вытащить число, совпадающее со своей вероятностью, равна 0.

По ссылке приведена вариация этой задачи, которая уже ведёт в настоящие, качественные дебри. Кому охота — можете в эти дебри слазить, но я не советую.

А вот вполне отвечабельный вопрос. Можно ли изменить условие задачи (написав другие числа на бумажках, и, быть может, изменив количество бумажек в шляпе) так, чтобы в шляпе оказалось ДВА числа, совпадающих со своими вероятностями?